Avatar uživatele
anonym

Jak pocitat odmocniny komplexnich cisel

Muze mi dobra duse jednoduse vysvetlit jak udelat odmocninu komplexniho cisla? Treba mi neni jasne proc treti odmocnina z -8 neni proste -2...

Uzamčená otázka

ohodnoťte nejlepší odpověď symbolem palce

Zajímavá 0 před 4349 dny Sledovat Nahlásit



Nejlepší odpověď
Avatar uživatele
Miroslavst

Tak to nevím a odpověď olafa , tak to mi už hlava nebere vůbec :D

0 Nominace Nahlásit

Další odpovědi
Avatar uživatele
Olaf

Podobně jako mocniny. Když je komplexní číslo v algebraickém tvaru z = a + i*b, tak ho převedeme na goniometrický tvar

z = |z|[cos(fi)+i*sin(fi)],

potom z^n = |z|^n*[cos(n*fi) + i*sin(n*fi)]. (Úhel, který svírá průvodič spojující číslo v Gaussově rovině s počátkem, se zjistí z obrázku přes jednoduchou trigonometrii; cos(fi) = a/|z| = a/(a^2+b^2), sin(fi) = b/|z| = b/(a^2+b^2)). N-tá odmocnina se zapíše také jaké "na 1/n", proto n-tá odmocnina ze "z" je

|z|^(1/n)[cos[(fi+2*k*pi)/n]+i *sin[(fi+2*k*pi)/n],

kde k = 0, 1, 2, ... (Je nutné vysvětlovat i tu periodu v argumentu?).

-8 zapíšu jako -8 + i*0, tj. cos(fi) = -1 a zároveň sin(fi) = 0. Takový úhel je fi=pi.

- 8 = 8*(cos[pi] + i*sin[pi]).

Třetí odmocnina je 2*(cos[(pi+2*k*pi)/3] + i*sin[(pi+2*k*pi)/3]) =
= 2*(cos[pi*(2k+1)/3] + i*sin[pi*(2k+1)/3]), pro k = 0,1,2 (tři kořeny, díky periodičnosti sinu a kosinu se pak hodnoty začnou pro další "k" opakovat).

Pro k:=0 je (-8)^(1/3) = 2*(cos[pi/3]+i*sin[pi/3]) = 2*(1/2 + i*3^(1/3)/2) = 1 + i*3^(1/3),

pro k:=1 je (-8)^(1/3) = 2*(cos[pi]+i*sin[pi]) = -2 (reálný kořen),

pro k:=2 je (-8)^(1/3) = 2*(cos[5/3*pi]+i*sin[5/3*pi] = 1-i*3^(1/3) (komplexně sdružený s prvním).

Nepochybuju, že tady je to nečitelné...

0 Nominace Nahlásit

Diskuze k otázce

U otázky nebylo diskutováno.

Nový příspěvek