Avatar uživatele
Registrovaný

Jak pocitat odmocniny komplexnich cisel

Muze mi dobra duse jednoduse vysvetlit jak udelat odmocninu komplexniho cisla? Treba mi neni jasne proc treti odmocnina z -8 neni proste -2...

Uzamčená otázka – ohodnoťte nejlepší odpověď symbolem palce.

Nejlepší odpověď

Avatar uživatele
Zlatý

Tak to nevím a odpověď olafa , tak to mi už hlava nebere vůbec :D

 

Další odpovědi:

Avatar uživatele
Pokročilý

Podobně jako mocniny. Když je komplexní číslo v algebraickém tvaru z = a + i*b, tak ho převedeme na goniometrický tvar

z = |z|[cos(fi)+i*sin(fi)],

potom z^n = |z|^n*[cos(n*fi) + i*sin(n*fi)]. (Úhel, který svírá průvodič spojující číslo v Gaussově rovině s počátkem, se zjistí z obrázku přes jednoduchou trigonometrii; cos(fi) = a/|z| = a/(a^2+b^2), sin(fi) = b/|z| = b/(a^2+b^2)). N-tá odmocnina se zapíše také jaké "na 1/n", proto n-tá odmocnina ze "z" je

|z|^(1/n)[cos[(fi+2*k*pi)/n]+i *sin[(fi+2*k*pi)/n],

kde k = 0, 1, 2, ... (Je nutné vysvětlovat i tu periodu v argumentu?).

-8 zapíšu jako -8 + i*0, tj. cos(fi) = -1 a zároveň sin(fi) = 0. Takový úhel je fi=pi.

- 8 = 8*(cos[pi] + i*sin[pi]).

Třetí odmocnina je 2*(cos[(pi+2*k*pi)/3] + i*sin[(pi+2*k*pi)/3]) =
= 2*(cos[pi*(2k+1)/3] + i*sin[pi*(2k+1)/3]), pro k = 0,1,2 (tři kořeny, díky periodičnosti sinu a kosinu se pak hodnoty začnou pro další "k" opakovat).

Pro k:=0 je (-8)^(1/3) = 2*(cos[pi/3]+i*sin[pi/3]) = 2*(1/2 + i*3^(1/3)/2) = 1 + i*3^(1/3),

pro k:=1 je (-8)^(1/3) = 2*(cos[pi]+i*sin[pi]) = -2 (reálný kořen),

pro k:=2 je (-8)^(1/3) = 2*(cos[5/3*pi]+i*sin[5/3*pi] = 1-i*3^(1/3) (komplexně sdružený s prvním).

Nepochybuju, že tady je to nečitelné...

 

Diskuze k otázce

 

U otázky nebylo diskutováno.

 

Přihlásit se

Položte otázku, odpovězte, zapojte se, …

začněte zde

Reklama

Kvalitní odpovědi v: Věda

Zlatý annas 4371
Zlatý Kepler 2114
Zlatý Drap 1760
Zlatý quentos 1615
Zlatý mosoj 1531
Zlatý led 973
Zlatý marci1 966
Zlatý Lamalam 717
Zlatý gecco 709
Zlatý ivzez 661

Zobrazit celkový žebříček

Facebook

 

Váš požadavek se vyřizuje, počkejte prosím.