Avatar uživatele
Registrovaný

Jak pocitat odmocniny komplexnich cisel

Muze mi dobra duse jednoduse vysvetlit jak udelat odmocninu komplexniho cisla? Treba mi neni jasne proc treti odmocnina z -8 neni proste -2...

Uzamčená otázka – ohodnoťte nejlepší odpověď symbolem palce.

Nejlepší odpověď

Avatar uživatele
Zlatý

Tak to nevím a odpověď olafa , tak to mi už hlava nebere vůbec :D

 

Další odpovědi:

Avatar uživatele
Pokročilý

Podobně jako mocniny. Když je komplexní číslo v algebraickém tvaru z = a + i*b, tak ho převedeme na goniometrický tvar

z = |z|[cos(fi)+i*sin(fi)],

potom z^n = |z|^n*[cos(n*fi) + i*sin(n*fi)]. (Úhel, který svírá průvodič spojující číslo v Gaussově rovině s počátkem, se zjistí z obrázku přes jednoduchou trigonometrii; cos(fi) = a/|z| = a/(a^2+b^2), sin(fi) = b/|z| = b/(a^2+b^2)). N-tá odmocnina se zapíše také jaké "na 1/n", proto n-tá odmocnina ze "z" je

|z|^(1/n)[cos[(fi+2*k*pi)/n]+i *sin[(fi+2*k*pi)/n],

kde k = 0, 1, 2, ... (Je nutné vysvětlovat i tu periodu v argumentu?).

-8 zapíšu jako -8 + i*0, tj. cos(fi) = -1 a zároveň sin(fi) = 0. Takový úhel je fi=pi.

- 8 = 8*(cos[pi] + i*sin[pi]).

Třetí odmocnina je 2*(cos[(pi+2*k*pi)/3] + i*sin[(pi+2*k*pi)/3]) =
= 2*(cos[pi*(2k+1)/3] + i*sin[pi*(2k+1)/3]), pro k = 0,1,2 (tři kořeny, díky periodičnosti sinu a kosinu se pak hodnoty začnou pro další "k" opakovat).

Pro k:=0 je (-8)^(1/3) = 2*(cos[pi/3]+i*sin[pi/3]) = 2*(1/2 + i*3^(1/3)/2) = 1 + i*3^(1/3),

pro k:=1 je (-8)^(1/3) = 2*(cos[pi]+i*sin[pi]) = -2 (reálný kořen),

pro k:=2 je (-8)^(1/3) = 2*(cos[5/3*pi]+i*sin[5/3*pi] = 1-i*3^(1/3) (komplexně sdružený s prvním).

Nepochybuju, že tady je to nečitelné...

 

Diskuze k otázce

 

U otázky nebylo diskutováno.

 

Přihlásit se

Položte otázku, odpovězte, zapojte se, …

začněte zde

Reklama

Kvalitní odpovědi v: Věda

Zlatý annas 3885
Zlatý Kepler 1566
Zlatý Drap 1554
Zlatý quentos 1524
Zlatý mosoj 1486
Zlatý led 878
Zlatý marci1 835
Zlatý Lamalam 717
Zlatý gecco 709
Zlatý hanulka11 627

Zobrazit celkový žebříček

Facebook

 

Váš požadavek se vyřizuje, počkejte prosím.