Velká Británie se musela vypořádat s (P/p)rvní, ale zejména Druhou světovou válkou. Má tam být p, nebo P ?

Samozřejmě, že malé p. Copak je to oficielní název? Není.
A pokud bych si opravdu nevěděl rady, napsal bych I. světovou nebo II. světovou válkou a bylo by po ftákách :D
Slovo první vyjadřuje číslovku.

malý – první světová a druhá světová válka. Taky jsem zaváhala, ale s velkým to vypadá moc blbě :)

Zdroj: http://priruc­ka.ujc.cas.cz/?id=191

Slovo, na jehož psanou podobu směřuje dotaz je číslovka, určuje pořadí (1.; 2.). Nevidím důvod použití velkého prvního písmene, není-li slovo na začátku věty.
Něco jiného by to bylo třeba ve formulaci Velká vlastenecká válka nebo pojmenování události podle místa jejího průběhu.

nás teda češtináři učili velké, s tím, že ano, jedná se o oficiální název. Jak u První, tak u Druhé světové války