Existuje nějaké pravidlo, na které ruce má nosit prsten Svatý otec, biskup a další hodnostáři?

Papežův prsten se nazývá rybářský. Nosí se na prsteníku pravé ruky., symbolizuje věrnost církvi, jeho autoritu, jeho poslání. V levé ruce drží papež berlu, pravou rukou žehná.

Proč na pravé ruce? Tradice -souvisost t s původním významem prstenu. Na levé ruce se totiž nosí prsten zásnubní nebo snubní (zavedl papež Evžena III, v pol. 12. st.), na pravé ruce pak prsten pečetní , který má právní platnost – pečetilo se pravou rukou. Papežův prsten sloužil původně jako pečetidlo.

Rybářský prsten (latinsky Anulus piscatoris) je sekretní prstenová pečeť používaná papeži k pečetění méně významných dokumentů a tajné korespondence voskem červené barvy. Její používání je známo od 12. století. Od 15. století se rybářský prsten používal i k pečetěni papežských breve. V pečetním poli je vyobrazena scéna rybolovu sv. Petra a v legendě pečeti je pak uveden titul papeže, jeho jméno a pořadové číslo.

Po smrti papeže byl prsten zničen, aby nedocházelo s jeho pomocí k falšování písemností.

V roce 1878 užívání této pečeti končí a nahrazuje ji otisk razítka.

http://cs.wiki­pedia.org/wiki/Ryb%C3%A1­%C5%99sk%C3%BD_prsten

Možný je mytologický původ.
Prsten není nic jiného než článek řetězu. Jeho nositel je něčím svázán, nějakým slibem, věrností, popř. podřízeností.My­tologický původ u Promethea . Prométheus Měl zůstat ke skále navždy připoután. To se dalo obejít tím, že Prométheus musel nosit n pravé ruce jeden článek řetězu jako prsten a tam, kam se obyčejně připevňuje drahokam, má zasazen kousek kamene z kavkazské skály.

Z různých zdrojů.

Např. Symbolika prstenů
http://www.e-stredovek.cz/vi­ew.php?cisloclan­ku=2011050001