Poradíte, zda mohu dát výpověď a přihlásit se na úřadu práce?

Jen doplním: na ÚP se musíš přihlásit do tří dnů od skončení zaměstnání a pozor na podmínky získání podpory – viz odkaz.

Zdroj: http://portal­.gov.cz/app/za­kony/zakonPar­.jsp?idBiblio=58235&nr=4­35~2F2004&par=39&rpp=15#­parCnt

Ještě pokud o to zaměstnání stojíte, možná by mohla stát za to (podle situace) zkusit se na řešení domluvit se šéfem (pokud problémy dělají kolegové), nebo pokud je problémový šéf, tak zkusit nějakou poradno. Možná by mohl pomoci i UP.
Nikdo nemá právo kvůli péči o blízké Vám dělat ze života peklo…

Ano je to možné. Z těchto důvodů byly UP zřízeny. Když někdo příjde o práci, jde na UP

Tomko,
nezlobte se, ale tuto situaci byste měla řešit jinak.

Dáte-li výpověď a přihlásíte-li se na ÚP, budete muset ÚP poskytovat potřebnou součinnost (nebudete se moci omlouvat na nemoc dětí) a budete muset přijmout zaměstnání, které Vám ÚP nabídne (pokud pro Vás vůbec něco najde).

Najdete-li nové zaměstnání, bude v něm situace stejná, ne-li horší, protože
v současném zaměstnání už Vás alespoň znají a vědí, jak pracujete.

Onemocní-li Vám děti ve zkušební době, může nový
zaměstnavatel zaměstnání zrušit ve zkušební době.

Já bych spíše doporučila se pokusit se zaměstnavatelem nějak
dohodnout, nabídnout mu (je-li u Vašeho druhu práce možné), že
v době nemoci můžete část pracovních úkolů udělat doma apod.

Rozhodnete-li se přesto pro výpověď, nezapomeňte uvést jako důvod
zajištění docházky dětí do školy nebo do předškolního zařízení, jinak se
Vám po celou podpůrčí dobu bude podpora krátit na 45 % čistého
průměrného výdělku.