Zajímalo by mě, zda je správně gramaticky vajíčko nahniličko nebo nahniličku? A co to vlastně je ta hnilička/o?

Obě možnosti, které uvádíte, jsou správné, ale liší se pravopisem.
Uvařené vejce na hniličku nebo méně časté nahniličko.
Nahniličko – příslovce – význam – něco mezi natvrdo a naměkko. Hnilička – podstatné jméno – význam – měkká přezrálá hruška.
Záleží na tom, zda použijí tvar příslovce – pak píšeme dohromady (nahniličko – vejce není ani natvrdo ani naměkko), nebo tvar podstatného jména (na hniličku – připomíná měkkou hrušku).
SSČ

Správně je „vajíčko na hniličku“.
Vejce na hniličku uvaříme tak, že je vložíme do horké vody a vaříme 4 až 4,5 minuty. Pak je maličko naťukneme a ponoříme na 10 vteřin do studené vody, aby se lépe loupala. Nesmějí však vychladnout!
Na hniličku je něco mezi na tvrdo a na měkko. Bílek tuhý, žloutek polotekutý.

Oba tvary jsou správně, ale každý bude preferovat název, který je u něj krajově obvyklý. Středočech by použil výraz „na hniličko“, na Moravě je zřejmě obvyklejší „na hniličku“. Chtělo by to anketu, ale Moraváci ( Moravené ) jsou tu myslím v přesile.

Správně je na hniličko = ani na tvrdo, ani na měkko,něco mezi.

Odkazy na webu uvádí oba tvary /s -o- i -u-/,takže obojí se dá použít!