Avatar uživatele
Bronzový

Máme ještě jiná čísla, než komplexní?

Komplexní čísla byla zavedena, aby mohla být definována odmocnina se záporného čísla. S komplexními čísly lze provádět všechny operace, sčítání, odčítání, násobení a dělení. Když jsme u toho násobení, tak násobení stejným číslem je mocnění. Ale nikde jsem se nedovzvěděl, co dostanu, když budu odmocňovat komplexní číslo. Platí , že i je odmocnina z minus jedné.
Takže když budu mít príklad x2 = i, x2 = 1 +i , x2 = 2-i ,
to x2 je myšleno jako x na druhou. Jaké je to x?
Probírá se to někde na vysoké škole? Komplexní čísla se zakreslují do roviny, co bych získal tímto výpočtem? Díky

Uzamčená otázka – ohodnoťte nejlepší odpověď symbolem palce.

Nejlepší odpověď

Avatar uživatele
Bronzový

Ano, čísel máme mnoho, nejznámější jsou např. přirozená, celá racionální, kladná, záporná, reálná, komplexní,... nebudu otravovat s tím, co známe ze ZŠ. Komplexní čísla byla zavedena kdysi dávno, abychom mohli úspěšně řešit algebraické rovnice vyšších stupňů, kde se často vyskytují odmocniny ze záporných čísel. Zde není dost prostoru pro nějaké přednášky, nehledě k tomu, že zde psát složitější mat. vztahy je utrpením (alespoň pro mě). Proto odkazuji na zdroje
http://student21.gjwprostejov. cz/…
http://search.seznam.cz/…
ale je toho na síti mnohem více, případně v nějaké učebnici pro SŠ, ....
Základy kompl. č. se učí na SŠ (my to měli tuším ve 2. ročníku na průmyslovce). Na VŠ se už automaticky předpokládala znalost těchto věcí a nikdo z vyučujících, se s tím (kromě nějakých specialit a vychytávek) už nezabýval. Ale navazovala na to teorie funkcí kompl. proměnných (namátkou si vzpomínám na nějakou funkci Žukovského, ale tam už se nechytám). Tehdy jsem tam považoval kompl. čísla a počítání s maticemi a determinanty za nejlehčí věci v matematice, všechno ostatní už bylo jenom horší a horší. V elektrotechnice se na k.č. zakládají prakticky všechny složitější výpočty obvodů se střídavými harmonickými proudy, bez toho si člověk ani neťukne. Zde pro ně vymysleli vědátoři pojmy jako fázory, kompl. impedance, kompl. admitance, ....
Už se nebudu předvádět, ale uvedu něco konkrétního k věci. Obecně vzato n-tá odmocnina z k.č. má n různých hodnot, z toho jednu hlavní. Počítají se obvykle podle vzorce: (n-tá odm. z abs.h. k.č.) * (cos ((fí + 2k*pí)/n) + i*sin(( fí + 2k*pí)/n)), kde fí je argument k.č. a k = 0,1, 2, ..., (n-1). To předpokládá vyjádření k.č. v goniometrickém tvaru. Lze též použít exponenciální vyjádření k.č. Ve složkovém tvaru (kartézském) se dá rozumně využít jen vztah pro 2. odmocninu, jinak ani neznám vztahy pro vyšší odmocniny, ani nevím jestli existují. Takže příklady co uvádíš, jsou kvadratické rovnice a pro výpočet kořenů budeme potřebovat výpočet 2. odmocniny z k.č. na pravé straně Její hodnoty získáme podle uvedeného vzorce pro k = 0 a k = 1. Pro výpočet hodnot 2. odmocniny napíšeme k.č. na pravé straně rovnice v goniometrickém tvaru: i = cos (pí/2) + i*sin (pí/2). Hlavní hodnotu odmocniny získáme po dosazení do výše uvedeného vzorce za n = 2, abs.h. = 1, fí = pí/2, k = 0 a po výpočtu x1 = cos (pí/4) + sin (pí/4). Druhou hodnotu dostaneme pro k = 1 v tomto tvaru: x2 = cos (5*pí/4) + i*sin (5*pí/4). Po převedení do kart. tvaru je x1 = (sqrt 2)/2 +i*(sqrt 2)/2 a x2 = - (sqrt 2)/2 - i*(sqrt 2)/2. Tyto hodnoty odmocniny jsou zároveň kořeny uvedené rovnice. Můžeš se o tom přesvědčit umocněním každého z komplexních kořenů ^2. Dostaneš v obou případech imaginární jednotku i. Zbývající příklady se řeší obdobně. A k poslední podotázce tvé otázky: Kompl. čísla zobrazujeme v tzv. Gaussově rovině komplexních čísel (což je pravoúhlá souřadná soustava) kde na vodorovnou osu vynášíme reálné složky kompl. čísel a na svislou osu imaginární složky k.č. Obrazem k. čísla v G. rovině je tedy bod. Všechny kořeny n-té odmocniny k. čísla tvoří v G. rovině vrcholy pravidelného n-úhelníku.
Omlouvám se za psaní vzorců tímto způsobem, moje kódovací tabulka znaků mi zde nějak nefunguje a psát horní nebo dolní indexy taky neumím.

Doplňuji:
Teď vidím, že mi ve vztahu x1 = cos (pí/4) + sin (pí/4) vpadla imaginární jednotka, takže správně má být samozřejmě x1 = cos (pí/4) + i*sin (pí/4).

 

Další odpovědi:

Avatar uživatele
Stříbrný

Mohla by být i čísla, která se zapisují ne do roviny, ale do prostoru. Na vysoké škole se to probírá v algebře, na kterou nemám nejlepší vzpomínky, pročež nebudu zacházet do podrobností.


Avatar uživatele
Stříbrný

samozřejmě odmocňovat komplexní čísla lze. Odmocniny obecně mají více řešení (2. odmocnina má dvě, 3. má tři atd...). Jedním z řešení odmocniny mocniny nějakého čísla je opět to číslo, dalšími řešeními jsou jeho obrazy v komplexní rovině (stejná absolutní hodnota, ale různý úhel)
Těm jiným než komplexním číslům můžete také třeba říkat vektory (tří, čtyř,.... rozměrné ;-)
(komplexní číslo je možné často chápat jako dvourozměrný vektor, v některých situacích ta "záměna" není možná, resp. nedává smysl... počítat odmocninu vektrou je příklad nesmyslu, zatímco druhá odmocnina komplexního čísla smysl má)


Avatar uživatele
Pokročilý

Těmito výpočty, včetně mocnění a odmocňování, byste získal opět komplexní čísla, tedy opět nějaké body v rovině.

 

Diskuze k otázce

 

U otázky nebylo diskutováno.

 

Přihlásit se

Položte otázku, odpovězte, zapojte se, …

začněte zde

Reklama

Kvalitní odpovědi v: Věda

Zlatý annas 2730
Zlatý quentos 1319
Zlatý mosoj 1304
Zlatý Drap 961
Zlatý hanulka11 627
Zlatý led 603
Zlatý gecco 589
Zlatý marci1 536
Zlatý arygnoc 507
Zlatý Lamalam 481

Zobrazit celkový žebříček

Facebook

 

Váš požadavek se vyřizuje, počkejte prosím.