Když bych si příklad koupil velký ostrov v Řecku mohu ten můj ostrov prohlásit za Republiku nebo Monarchii.

No řekl bych, že by to mohla být spíše autonomní republika než republika.
http://cs.wiki­pedia.org/wiki/Au­tonomn%C3%AD_re­publika
http://cs.wiki­pedia.org/wiki/Re­publika
Co se týče monarchie, záleželo by na typu moci: http://cs.wiki­pedia.org/wiki/Mo­narchie
Ale domnívám se, že pokud ostrov patří Řecku, přestože bys jej koupil, musel bys poslouchat řecké zákony, tedy pokud by Řecko souhlasilo s tím, že bys byl republikou. Ale myslím, že je to dost složité.

si pletieš niektoré pojmy:

ani republiku ani monarchiu by si nemohol prehlásiť, lebo by si porušil ústavu ŠTÁTU, ktorému územie patrí. (mimochodom monarchia či republika sú štátne zriadenia, formy organizácie a rozdelenia moci v štáte).
Teoreticky by si na svojom súkromnom majetku mohol vyhlásiť štát, ktorý by sa ale štátom stal až po splnení niektorých medzinárodných podmienok, medzi ktoré patrí najmä uznania najmä uznanie inými štátmi a medzinárodnými ogranizáciami, ale aj napr. zriadenie štátneho aparátu (výkonného, súdneho, politického, menového, atď) včítane pristúpenia ku niektorým medzinárodným zmluvám a pod.
Aká FORMA štátu by to bola (monarchia, republika, teokratický štát, sultanát a pod.) by záležalo nie len na tebe, ale aj obyvateľoch.

takže odpoveď je NIE.

a to som nezachádzal do podrobností (najmä medzinárodného práva a práva námorného, pokiaľ sa jedná o ostrov).